Soal dan Pembahasan – Deret Laurent dalam Analisis Kompleks

Perhatikan bahwa ada $2$ arti dari daerah $|z|>3$, yaitu:

1. Perlu menguraikan fungsi tersebut untuk daerah konvergensinya, yaitu pada semua $z$ yang berada di luar lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari $3$.
2. Perlu menguraikan fungsi tersebut ke dalam bentuk deret pangkat positif maupun negatif dari $z$. Singkatnya menjadi $\boxed{\displaystyle \sum a_n \cdot z^n + \sum \dfrac{b_n}{z^n} }$
   

Perhatikan bahwa $\dfrac{1}{z+3} = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{1 +\dfrac{3} {z}}.$
Uraikan ekspresi $\dfrac{1}{1 + \dfrac{3}{z}}$ dalam deret Taylor. Ingat bentuk berikut.
$\boxed{\displaystyle \dfrac{1}{1 + z} = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^nz^n} $
Jadi, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{1 +\dfrac{3} {z}} & = \dfrac{1}{z} \times \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \left(\dfrac{3}{z}\right)^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \cdot 3^n} {z^{n+1}}. \end{aligned}$$Dapat dilihat bahwa kita hanya mencari principal part dari deret Laurent karena daerah yang diminta adalah $|z| > 3$.

Titik singular fungsi tersebut adalah $z = 1$, sedangkan daerah konvergensinya adalah $|z -2| < 2$ (di dalam lingkaran dengan pusat $(2,0)$ dan berjari-jari $2$). Karena titik singularnya berada dalam daerah konvergensi, maka uraikan fungsinya hanya dengan deret Taylor (sebagaimana yang diminta pada soal).
$\begin{aligned} \dfrac{1}{z -1} & = \dfrac{1}{1 + (z -2)} \\ & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-z + 2)^n \end{aligned}$
Di lain pihak, titik singular fungsi berada di luar daerah konvergensi $|z -2| > 2$ sehingga diuraikan dalam principal part deret Laurent.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{z-1} & = \dfrac{1}{1 + (z – 2)} \\ & = \dfrac{1}{(z -2)\left(1 + \dfrac{1}{z -2}\right)} \\ & = \dfrac{1}{z-2} \times \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \left(\dfrac{1}{z-2}\right)^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n} {(z -2)^{n+1}} \end{aligned}$$

Daerah konvergensi $4 < |z – 2| < \infty$ ekuivalen dengan $|z -2| > 4$. Titik singular fungsinya, yaitu $z = -2$ dan $z = 1$ masing-masing di luar daerah konvergensinya sehingga penguraiannya dengan menggunakan principal part deret Laurent sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{(z+2)(z-1)} & = \dfrac{-\dfrac{1}{3}}{z + 2} + \dfrac{\dfrac{1}{3}} {z -1} \\ & = -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4 + (z -2)} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{1 + (z -2)} \\ & = -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(z -2)\left(1 + \dfrac{4}{z -2}\right)} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(z-2)\left(1 + \dfrac{1}{z -2}\right)} \\ & = -\dfrac{1}{3(z-2)} \times \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{4}{z -2}\right)^n + \dfrac{1}{3(z-2)} \times \sum (-1)^n\left(\dfrac{1}{z-2}\right)^n \\ & = \boxed{\dfrac{1}{3}(1-4^n) \sum \dfrac{(-1)^n} {(z-2)^{n+1}}} \end{aligned}$$

Perhatikan bahwa $f(z) = \dfrac{3}{z^2 -iz} = \dfrac{3}{z(z -i)}.$
Titik singular fungsi ini adalah $z = 0$ dan $z = i$ yang letaknya TIDAK berada di luar daerah konvergensi $|z + i| < 1$ (lingkaran dengan pusat di $(0,1)$ dan berjari-jari $1$) sehingga kita menguraikan keduanya ini hanya dalam bentuk deret Taylor.
$$\begin{aligned} \dfrac{3}{z(z + i)} & = 3\left(\dfrac{-\dfrac{1}{i}} {z} + \dfrac{\dfrac{1}{i}} {z -i}\right) \\ & = -\dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-i + (z + i)} + \dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-2i + (z + i)} \\ & =-\dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-i\left(1 + \dfrac{z + i}{-i}\right)} + \dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-2i\left(1 + \dfrac{z+i}{-2i}\right)} \\ & = -3 \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z+i} {-i}\right)^n + \dfrac{3}{2} \times \sum (-1)^n\left(\dfrac{z+i} {-2i}\right)^n \\ & = \displaystyle \sum 3\left(\dfrac{z+i} {i} \right)^n + \sum \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{z+i}{2i}\right)^n \\ & = \boxed{3 \sum (z + i)^n\left(\dfrac{1}{2^{n+1}i^n} -\dfrac{1}{i^n}\right)} \end{aligned} $$

Karena daerah konvergensinya adalah $|z| > 0$, maka penyelesaiannya melibatkan principal part deret Laurent. Perhatikan bahwa $\boxed{\sin z = \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^nz^{2n+1}} {(2n+1)!}}$
Jadi,
$$\begin{aligned} \sin \left( \dfrac{1}{z}\right) & = \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} \times \left(\dfrac{1}{z} \right)^{2n+1} \\ & = \sum \dfrac{(-1)^n} {(2n+1)! \cdot z^{2n+1}}. \end{aligned}$$

Perhatikan bahwa $f(z) = \dfrac{1}{z^3-2z^2+z} = \dfrac{1}{z(z-1)^2}.$
Tampak titik singular $z_1 = 0$ dan $z_2 = 1$, berturut-turut berada dalam syarat konvergensi $|z -1| < 1$ dan $|z -1| > 0$, berarti bagian fungsi yang memiliki syarat $|z -1| < 1$ akan diselesaikan seperti deret Taylor dan bagian fungsi yang memiliki syarat $|z -1| > 0$ akan diselesaikan seperti principal part dalam deret Laurent.
Bentuk fungsi di atas dapat dipecah menjadi $f(z) = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{(z-1)^2}.$
Tinjau bagian $\dfrac{1}{(z-1)^2}$ yang akan dicari bentuk principal part. Tetapi, ternyata bentuk tersebut sudah dalam bentuk deret pangkat $\dfrac{1}{(z-1)^n}$ sehingga tidak perlu diubah lagi.
Jadi,
$\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{(z-1)^2} \\ & = \dfrac{1}{1 + (z -1)} \times \dfrac{1}{(z-1)^2} \\ & = \displaystyle \sum (-1)^n(z-1)^n \times \dfrac{1}{(z-1)^2} \\ & = \boxed{\sum (-1)^n(z-1)^{n-2}} \end{aligned} $

Anulus konvergensinya adalah daerah di antara lingkaran berpusat di $(0,1)$ dan berjari-jari $1$ dengan $2$. Fungsi yang diberikan memiliki titik singular $z = 0$ dan $z = i$. Titik singular $z = 0$ berada lebih kecil dari daerah konvergensi sehingga diselesaikan dalam bentuk principal part, sedangkan $z = i$ diselesaikan seperti deret Taylor karena lebih besar dari daerah konvergensi. Pertama-tama, pecahkan fungsinya dalam bentuk parsial.
$\dfrac{5z+2i} {z(z+i)} = \dfrac{2}{z} + \dfrac{3}{z+i}$
(i) Menguraikan bentuk $\dfrac{2}{z}$ dalam principal part deret Laurent.
$\begin{aligned} \dfrac{2}{z} & = \dfrac{2}{i + (z -i)} \\ & = \dfrac{2}{(z-i)\left(1 + \dfrac{i}{z-i}\right)} \\ & = \dfrac{2}{z-i} \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{i} {z-i} \right)^n \\ & = \boxed{2 \sum (-1)^n \times \dfrac{(i)^n} {(z-i)^{n+1}}} \end{aligned} $
(ii) Menguraikan bentuk $\dfrac{3}{z + i}$ dalam bentuk deret Taylor.
$\begin{aligned} \dfrac{3}{z+i} & = \dfrac{3}{2i + (z – i)} \\ & = \dfrac{3}{2i\left(1 + \dfrac{z-i} {2i} \right)} \\ & = \dfrac{3}{2i} \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z-i} {2i} \right)^n \\ & = \boxed{3 \sum (-1)^n \times \dfrac{(z-i)^n} {(2i)^{n+1}}} \end{aligned}$
Jadi, deret Laurentnya adalah penjumlahan dari keduanya, yaitu
$$\boxed{2 \sum (-1)^n \times \dfrac{(i)^n} {(z-i)^{n+1}} + 3 \sum (-1)^n \times \dfrac{(z-i)^n} {(2i)^{n+1}}}$$

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{z+3}{z^2-6z+8} \\ & = \dfrac{z+3}{(z-4)(z-2)}. \end{aligned}$
Daerah konvergensinya adalah di antara lingkaran berpusat di $(2,0)$ berjari-jari $0$ dan $2$.
Titik singular fungsi tersebut adalah $z = 4$ dan $z = 2$. Titik singular $z = 2$ lebih kecil dari daerah konvergensi sehingga diselesaikan dalam bentuk principal part, sedangkan titik singular $z = 4$ lebih besar dari daerah konvergensi, dan harus diselesaikan dalam bentuk deret Taylor.
Untungnya, $\dfrac{1}{z – 2}$ sudah dalam bentuk principal part sehingga tidak perlu diubah. Sekarang, akan diuraikan bentuk $\dfrac{1}{z -4}$ dalam deret Taylor sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{z-4} & = \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{-2 + (z -2)} \\ & = \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{-2\left(1 + \dfrac{z-2}{-2}\right) } \\ & = \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{-2} \times \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z-2}{-2}\right)^n \\ & = \boxed{ -(z + 3) \sum \dfrac{(z-2)^{n-1}} {2^{n+1}}} \end{aligned}$$